Introduktion til Maple for CalculusII - februar 2008 - Hans J. Munkholm

P\303\245 Windows maskiner ops\303\270ges programmet Maple 11. P\303\245 instituttets Linux maskiner kan man starte programmet fra en "shell" med kommandoen xmaple. Husk x-et

Maple har to forskellige dokumentformater. Jeg anbefaler, at man v\303\246lger WORKSHEET. Dette g\303\270res ved f\303\270lgende valgsekvens, som starter p\303\245 \303\270verste kommandobj\303\246lke. Tools -> Options -> Interface -> Default format for new worksheets->Worksheet->Apply Globally

N\303\245r man arbejder med Worksheet, er der en klar opdeling af ens arbejdsark i afsnit, som indeholder matematik input og output p\303\245 den ene side og afsnit som indholder tekst p\303\245 den anden. Matematikafsnittene markeres med en lodret firkantet parentes og en r\303\270d prompt > Denne viser, at Maple er rede til at modtage matematikinput. N\303\245r matematikinputtet er f\303\246rdigskrevet, afslutter man med et semikolon, og fodrer ordren ind i Maple ved at trykke p\303\245 Enter-knappen. Svaret kommer da med bl\303\245t og centreret. 23*3^4; \303\230nsker man i et matematikafsnit at skifte linje uden at fodre ordren ind, bruger man Shift+Enter Tekstafsnit markeres med en firkantet parentes uden nogen prompt. N\303\245r man ser dette kan man alts\303\245 skrive almindelig tekst.

Et nyt matematikafsnit inds\303\246ttes efter cursorens afsnit ved at aktivere knappen med [> i ikonbj\303\246lken Et nyt tekstafsnit inds\303\246ttes efter cursorens afsnit ved at aktivere knappen med T i ikonbj\303\246lken N\303\245r cursoren st\303\245r i et tekst- eller matematikafsnit kan det slettes med Ctrl+Delete N\303\245r cursoren st\303\245r i et tomt matematikafsnit kan det \303\246ndres til tekstafsnit ved Ctrl+t N\303\245r cursoren st\303\245r i et tomt tekstafsnit kan det \303\246ndres til matematikafsnit ved Ctrl+m

Man kan bruge sekvensen Tools -> Options -> Display -> Always insert new execution group after executing til at v\303\246lge, om der automatisk skal oprettes et nyt matematikafsnit efter at man har f\303\245et udf\303\270rt en ordre. Det er praktisk at have denne mulighed sl\303\245et til, n\303\245r man er ved at lave et nyt Maple ark. Og det er praktisk at have den sl\303\245\303\246t fra, hvis man er i gang med at arbejde sig ned gennem et allerede eksisterende Maple ark.

Maple har to formater til input. Jeg anbefaler brug af Maple notation (i stedet for 2-D-Math Notation) Dette valg g\303\270res s\303\245ledes: Tools -> Options -> Display -> Input Display -> Maple notation -> Apply Globally

N\303\245r man i et matematikafsnit skal inds\303\246tte matematikordrer, kan man enten bruge tastaturet, eller man kan hente ting fra en palet. Der er dusinvis af paletter, som man kan have liggende i de sakaldte docks, som er lodrette sidevinduer, der kan \303\245bnes eller lukkes ved sekvensen View -> Palettes -> Expand Docks (hvis de er lukkede) View -> Palettes -> Collapse Docks (hvis de er \303\245bnes) De mest nyttige paletter hedder Expression og Common Symbols

Knappen Help i \303\270verste kommandobj\303\246lke giver adgang til diverse hj\303\246lpende h\303\246nder, specielt et stort indeks som man kan s\303\270ge i. Det er praktisk at have den k\303\270rende ved siden af ens worksheet, s\303\245 man hurtigt kan udners\303\270ge om Maple er villig til at sige noget om et givet matematisk begreb. Her er en ordre, der efters\303\270ger viden om ordet gradient Bem\303\246rk sp\303\270rgsm\303\245lstegnet. N\303\245r jeg aktiverer kommandoen \303\245bnes hj\303\246lpearket med en liste over steder, hvor gradient optr\303\246der i dokumentationsmaterialet ?gradient

Kliksekvensen Tools->Assistants giver adgang til et rullegardin med et udvalg af "assistenter." I gennemgangen viser jeg den assistent, der hedder CurveFitting (Denne fremvisning kan ikke umiddelbart vises i .html version)

Kliksekvensen Tools -> Tutors giver adgang til mange tutorer. Jeg viser her, hvad der sker, hvis jeg kliker videre til den samlede rute Tools->Tutors-> Calculus Single variable -> Arc Lengths (Denne fremvisning kan ikke umiddelbart vises i .html version)

Regneudtryk er lette at have med at g\303\270re i Maple. De skrives lige som p\303\245 grafregneren, MEN der skal altid et semikolon til sidst for at f\303\245 Maple til at forst\303\245, at en ordre er slut, og efter ; skal der trykkes p\303\245 return tasten. Her giver jeg navnene a og b til to udtryk, og s\303\245 regner jeg lidt p\303\245 a og b. Bem\303\246rk, det s\303\246rlige TILDELINGSLIGHEDSTEGN := a:=4+3*x-4*x^2; b:= 5-6*x+8*x^2; a+b; a*b; Her ses det, at Maple ikke straks ganger ud. Det kan man f\303\245 gjort med ordren expand: expand(a*b); Man kan ogs\303\245 h\303\270jreklikke p\303\245 et resultat. S\303\245 f\303\245r man en menu, der giver en en hel r\303\246kke muligheder. Pr\303\270v at h\303\270jreklikke p\303\245 resultatet af den n\303\246ste udregning og v\303\246lg expand ved at venstreklikke. a^3;

Man kan ogs\303\245 tegne grafen for et regneudtryk. Man skal selvf\303\270lgelig fort\303\246lle hvilket interval der skal tegnes over. plot(a,x=-1..2); Man kan ogs\303\245 tegne flere grafer sammen. Efter det er gjort, pr\303\270v s\303\245 at h\303\270jreklikke p\303\245 tegningen og pr\303\270v nogle af mulighederne. plot([a,b,a+b],x=-1..2,thickness=1,color=[blue,red,green]); plot3d(x*y*exp(-(x^2+y^2)),x=-2..2,y=-2..2);

Maple kan ogs\303\245 differentiere og integrere regneudtryk: diff(a,x); int(a,x); int(a,x=0..3); Skal vi finde toppunktet for parablen beskrevet af a, skal vi jo finde ud af, for hvilken x-v\303\246rdi den afledede er nul. Det g\303\270res med solve solve(diff(a,x)=0, x); Den tilh\303\270rende y-v\303\246rdi f\303\245s ved at inds\303\246tte x=3/8 i udtrykket for a: subs(x=3/8,a);

Maple kender p\303\245 forh\303\245nd masser af funktioner, f.eks. sin, cos, tan, ln, sqrt. sqrt(x); Mere komplicerede, f.eks. sammensatte funktioner, m\303\245 man selv l\303\246re Maple at kende. F.eks.s\303\245dan her: g:=x->x^2*sin(x); plot(g(x), x=-2*Pi..2*Pi); N\303\245r en funktion har f\303\245et et navn, s\303\245 kan man differentiere funktion ved at bruge D: D(g); Svaret kommer ud som en funktion igen, ser vi. D(g)(t); int(D(g)(t),t); int(g(x),x); plot([g(t),int(g(x),x=0..t)],t=-2*Pi..2*Pi,color=[red,blue]);

Lad os lige huske p\303\245, hvad a og b st\303\245r for ogs\303\245 l\303\270se nogle ligninger: {a,b}; solve(a=0,x); solve(b=0,x); solve(a=b,x); solve({a=0,b=0},x); l\303\270sn:=solve(y^3-y+1=0,y); fsolve(y^3-y+1=0,y,complex); plot(y^3-y+1,y=-1.5..1.5); factor(y^3-y+1,real);

Inden I g\303\245r i gang med opgaverne skal vi lige s\303\270rge for, at rense maskinen for alt det, vi har lagt ind. Det g\303\270res med denne ordre: restart;

Beregn differentialkvotienten af udtrykket 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 og tegn grafen for b\303\245de udtrykket og dets differentialkvotient p\303\245 intervallet [-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,LUklbXJvd0c2Iy9JK21vZHVsZW5hbWVHNiJJLFR5cGVzZXR0aW5nR0koX3N5c2xpYkdGJzY1LUkjbWlHRiQ2NVElJnBpO0YnLyUnZmFtaWx5R1EwVGltZXN+TmV3flJvbWFuRicvJSVzaXplR1EjMTJGJy8lJWJvbGRHUSZmYWxzZUYnLyUnaXRhbGljR0Y3LyUqdW5kZXJsaW5lR0Y3LyUqc3Vic2NyaXB0R0Y3LyUsc3VwZXJzY3JpcHRHRjcvJStmb3JlZ3JvdW5kR1EoWzAsMCwwXUYnLyUrYmFja2dyb3VuZEdRLlsyNTUsMjU1LDI1NV1GJy8lJ29wYXF1ZUdGNy8lK2V4ZWN1dGFibGVHRjcvJSlyZWFkb25seUdGNy8lKWNvbXBvc2VkR0Y3LyUqY29udmVydGVkR0Y3LyUraW1zZWxlY3RlZEdGNy8lLHBsYWNlaG9sZGVyR0Y3LyU2c2VsZWN0aW9uLXBsYWNlaG9sZGVyR0Y3LyUsbWF0aHZhcmlhbnRHUSdub3JtYWxGJ0YvRjJGNUY4RjpGPEY+RkBGQ0ZGRkhGSkZMRk5GUEZSRlRGVg==] og eksperimenter med h\303\270jremuseklik og forskellige valg p\303\245 den tegning, du f\303\245r.

Pr\303\270v at finde nulpunkter for differentialkvotienten fra opgave 1. Sammenlign med graferne du fandt i opgave 1. Finder Maple alle nulpunkterne?

Pr\303\270v at differentiere udtrykket 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 og bagefter f(g(h(x))). Kan du genkende formlerne, der kommer frem? Husk, at udtrykket D(f) betyder differentialkvotienten af funktionen f

L\303\270s de to ligninger ax+by=c og Ax+By=C mht x og y. Genkender du formlen, der kommer frem?

Maple er ikke nogen voldsom stor hj\303\246lp her, hvor vi skal bestemme dom\303\246net for et par funktioner

plot3d(y^2,x=-1..1,y=-1..1,axes=framed);

with(plots): contourplot(x^2+2*y^2, x=-2...2,y=-2..2,thickness=3);

Her er Maple ikke nogen hj\303\246lp.

Maple er ikke s\303\246rlig god til gr\303\246nsev\303\246rdier for funktioner af 2 variable. For opgave 4 f\303\245s dog den rigtige konklusion. For opgave 5 opgiver Maple, hvilket vises ved bare at skrive opgaven igen limit(x/(x^2+y^2),{x=0,y=0}); limit(cos(x*y)/(1-x-cos(y)),{x=1,y=Pi});

Hvis funktionen skal v\303\246re kontinuert i punktet (0,0) skal f(0,0) defineres til at v\303\246re gr\303\246nsev\303\246rdien for f(x,y) for (x,y)->(0,0), s\303\245 vi beder Maple fors\303\270ge at beregne denne gr\303\246nsev\303\246rdi. limit((x^2+y^2-x^3*y^3)/(x^2+y^2),{x=0,y=0}); DET KUNNE MAPLE ALTS\303\205 IKKE KLARE!

\303\230nsker man at regne med Maples funktionsbegreb, er l\303\270sningen her: f:=(x,y)->x*y+x^2; D[1](f); D[2](f); D[1](f)(2,0); D[2](f)(2,0); Vil man istedet regne med udtryk er formatet her: man navngiver udtrykket z:=x*y+x^2; diff(z,x); diff(z,y); subs({x=2,y=0},diff(z,x)); subs({x=2,y=0},diff(z,y));

Jeg n\303\270jes denne gang med funktionssynspunktet. w:=(x,y,z)->ln(1+exp(x*y*z)); D[1](w); D[1](w)(2,0,-1); D[2](w); D[2](w)(2,0,-1); D[3](w); D[3](w)(2,0,-1);

restart; f:=(x,y)->2*x*y/(x^2+y^2); a:=0; b:=2; Tangentplanens ligning er z=f(a,b)+D[1](f)(a,b)*(x-a)+D[2](f)(a,b)*(y-b); Normallinjens parameterfremstilling (med t som parameter) er (a,b,f(a,b))+t*(D[1](f)(a,b),D[2](f)(a,b),-1);

restart; f:=(x,y)->A*(x^2-y^2) + B*x*y; D[1,1](f)(x,y)+D[2,2](f)(x,y);

Uegnet for Maple.

Uegnet for Maple

restart; diff(f(y^2,x^2),x);

restart; g:=(s,t)->f(t*sin(s),t*cos(s)); D[1,2](g)(s,t);